Question

помогите решить интегралы, пожалуйста

Answer 1

$1) intlimits^e_1 { frac{dx}{x sqrt{1+lnx}} } ,= intlimits^e_1 { frac{d(1+lnx)}{sqrt{1+lnx}} } ,= (2 sqrt{1+lnx})| ^e_1= \ \ =2 sqrt{1+lne}-2 sqrt{1+ln1}=2 sqrt{2} -2 sqrt{1} =2 sqrt{2}-2$

2) Интегрирование по частям
u=x ⇒  du=dx
dv=eˣ/² dx  ⇒  v=∫eˣ/² dx=2∫eˣ/² d(x/2)=2·eˣ/²
$intlimits^2_0 {xcdot e^{frac{x}{2}} , dx=2(xe^{frac{x}{2}} )|^2_0-2 intlimits^2_0 { e^{frac{x}{2}} } , dx =2(xe^{frac{x}{2}} )|^2_0-4(e^{frac{x}{2}} )|^2_0 =$
=4e-0-4e+4=4

3) Замена переменной
√(3х+1)-1=t  ⇒ √(3х+1)=t+1 ⇒  3x+1=t^2+2t+1  ⇒ x=(t^2+2t)/3

dx=((2/3)t+(2/3))dt
x=1  t=√(3·1+1)-1=2-1=1
x=5  t=√(3·5+1)-1=√(16)-1=4-1=3
$intlimits^5_1 { frac{dx}{ sqrt{3x+1}-1 } } ,= frac{2}{3} intlimits^3_1 { frac{(t+1)dt}{t} ,= frac{2}{3} intlimits^3_1 { frac{tdt}{t} ,+ frac{2}{3} intlimits^3_1 { frac{dt}{t} = frac{2}{3} intlimits^3_1 { dt} ,+ frac{2}{3} intlimits^3_1 { frac{dt}{t} =$

$=frac{2}{3}(t)|^3_1 + frac{2}{3}(ln|t|)|^3_1=$

=(2/3)·(3-1)+(2/3)·(ln3-ln1)=(4/3)+(2/3)ln3