Question

Функции нескольких переменных

Answer 1

Производная по направлению находится по формуле
$frac{du}{dl}= frac{du}{dx} cos alpha +frac{du}{dy} cos beta + frac{du}{dz} cos gamma$.
Найдем направляющие косинусы:
$cos alpha = frac{1}{ sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } = frac{1}{3} \ cos beta = frac{2}{ sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } = frac{2}{3} \ cos gamma = frac{-2}{ sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} } =- frac{2}{3}$
Вычислим значение частных производных в точке M(1,1,1)
$frac{du}{dx}|_M=- frac{4x}{x^2-5} -4yz|_M- frac{4}{1^2-5} -4*1*1=-3 \ frac{du}{dy}|_M=-4xz|_M=-4*1*1=-4 \ frac{du}{dz}|_M=-4xy|_M=-4*1*1=-4$
Следовательно, 
$frac{du}{dl} =-3* frac{1}{3} +(-4)* frac{2}{3} +(-4)*(- frac{2}{3})=-1- frac{8}{3} +frac{8}{3}=-1$
Градиент функции равен
$grad , u= frac{du}{dx} i + frac{du}{dy} j+ frac{du}{dz} k=-3i-4j-4k$