Question

СРОЧНО!!!ПОМОГИТЕ!!!АЛГЕБРА 10-11 КЛАСС!!!
1)Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y=f(x) и осью Ox
f(x)=6+x-x^2
2)Найдите площадь фигуры,ограниченной заданными линиями
а)y=x^2-x , y=3x
б)y=4/x^2 , y= -x-1 , x= -1

Answer 1

1)
f(x) - функция, графиком которой является парабола ветвями вниз, пересекающая ось Ох в двух точках. Значит, ее площадь фигуры, отсекаемой от параболы осью Ох, нужно рассчитывать как определенный интеграл этой функции от а до b, где а и b - точки, в которых f(x) обращается в нуль, т.е. корни уравнения 6+x-x^2=0. Найдем дискриминант D=1+24=25 и решим уравнение: 
x=(-1 плюс-минус 5)/(-2); х₁=-2; х₂=3. Итак, найдем площадь:
$S= intlimits^3_{-2} {(6+x-x^2)} , dx =6x+ frac{1}{2} x^2- frac{1}{3} x^3|^3_-_2= \ =(6*3+frac{1}{2}* 3^2-frac{1}{3}*3^3 )-(6*(-2)+frac{1}{2}* 2^2-frac{1}{3}*(-2)^3 )= \ =18+4,5-9-(-12+2+ frac{8}{3} )=18+4,5-9+12-2- frac{8}{3}=20 frac{5}{6}$
2)
а)
Сначала найдем точки пересечения графиков указанных функций, для чего решим уравнение 
$x^2-x=3x; \ x^2-4x=0; \ x(x-4)=0; \ x_1=0; x_2 =4$
Площадь, которую мы должны найти, равняется модулю разности опред. интеграла функции у=х^2-х с пределами в точках 0 и 4 и площади треугольника, образованного прямой у=3х, осью абсцисс и прямой х=4. Катеты этого треугольника равны 4 и 12 (т.к. 4-0=4 и 3*4=12), значит площадь его равна 4*12/2=4*6=24. Найдем интеграл и вычтем из него 24.

$intlimits^4_0 {(x^2-x)} , dx = frac{1}{3} x^3- frac{1}{2} x^2|^4_0=frac{1}{3} *4^3- frac{1}{2} *4^2-(frac{1}{3}* 0^3- frac{1}{2} *0^2)= \ = frac{64}{3} -8=21 frac{1}{3} -8=13frac{1}{3} \ \ |13frac{1}{3} -24|=10frac{2}{3}$ 

б)