Question

векторы МА МВ МС некомпланарны. Вектор МК=3МА+2МВ+8МС. В каком отношении плоскость АВС делит отрезок МК (считая от точки М)?

Answer 1

(Полужирным выделены вектора)

Так как вектора MA, MB, MC некомпланарны, то вектора AB и AC неколлинеарны, и по ним можно разложить любой вектор, лежащий в плоскости (ABC).

Пусть MK пересекает (ABC) в точке O. Тогда AO = MO - MA лежит в плоскости (ABC), и его можно разложить по AB и AC: AO = a AB + b 
BC.

Тогда MO = MA + AO = MA + a AB + b BC = MA + a(MB - MA) + b(MC - MB) = (1 - a - b) MA + a MB + b MC

Этот вектор должен быть сонаправлен с вектором MK = x MA + y MB + z MC, где x = 3, y = 2, z = 8, тогда MO = k MK, и необходимо найти k. Приравниваем коэффициенты при одинаковых векторах (здесь пользуемся, что разложение по тройке некомпланарных векторов единственно):

kx = 1 - a - b
ky = a
kz = b

Складываем все три уравнения:
k(x + y + z) = 1

k = 1 / (x + y + z) = 1/13

Так как MO = 1/13 MK, то OK = 12/13 MK, и MO : OK = 1 : 12.