Question

Периметр равнобедренного треугольника 18 см,а высота, проведенная к основанию 3см. Найти площадь триугольника

Answer 1

Дано :
Δ АВС  - равнобедренный
ВН = 3 см  - высота к основанию АС
Р = 18 см
Найти : S  - ?

Решение.
По свойствам равнобедренного треугольника: 
1) Боковые стороны равны  ⇒   АВ = ВС  
2) Углы при основании равны ⇒ ∠А = ∠С
3) ВН  - высота к основанию АС ⇒ является медианой и биссектрисой:
∠Н = 90°  ( т.к. ВН  - высота)
АН = НС = ¹/₂  *  АС  ;   АС = 2АН=2АС  ( т.к. ВН  - медиана)
∠АВН = ∠СВН = ¹/₂ * ∠В    (т.к. ВН - биссектриса ∠В)
4) ΔАНВ = ΔСНВ  - прямоугольные треугольники
Периметр ΔАВС :
Р = АВ+ВС+АС = 18 (см)   ⇒ АС = Р -(АВ+ВС) = Р  - 2АВ = Р - 2ВС
Допустим: 
АВ=ВС= х  (см)
АС = 18 - 2*х  = 2*(9-х)  (см)   ⇒ АН=НС = 9 - х  (см)
По теореме Пифагора:
х² =  (9-х)²  + 3²
х² =  9²  - 2*9х  + х²   +  9
х²= 81 - 18х  + х²  + 9
х²  + 18х  - х²  = 81+9
18х =90
х=90 :18
х= 5 (см) ²  ⇒  АВ=ВС= 5 (см)  
АС = 18  - 2*5 = 18 - 10 =  8 (см)
S =¹/₂ AC * ВН   ⇒   S= ¹/₂  *  8  *  3 = ²⁴/₂  = 12 (см²)

Ответ: S = 12 см² .