Предмет: Математика,
автор: kophey
Помогите решить задачу Коши
y'+y-xy^3=0,y(0)=-1
Ответы
Автор ответа:
2
это вид Бернулли n=3.
Пусть
, тогда имеем
![t'-2t=-2x t'-2t=-2x](https://tex.z-dn.net/?f=t%27-2t%3D-2x)
Пусть
, имеем
![u'v+uv'-2uv=-2x\\ u'v+u(v'-2v)=-2x u'v+uv'-2uv=-2x\\ u'v+u(v'-2v)=-2x](https://tex.z-dn.net/?f=u%27v%2Buv%27-2uv%3D-2x%5C%5C+u%27v%2Bu%28v%27-2v%29%3D-2x)
Решение Бернулли разбивается на 2 случая:
1) Предположим что второе слагаемое равен нулю
![v'-2v=0\\ \\ \frac{dv}{v} =2dx v'-2v=0\\ \\ \frac{dv}{v} =2dx](https://tex.z-dn.net/?f=v%27-2v%3D0%5C%5C+%5C%5C++%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bv%7D+%3D2dx)
Интегрируя
![v=e^{2x} v=e^{2x}](https://tex.z-dn.net/?f=v%3De%5E%7B2x%7D)
2)![u'e^{2x}=-2x\\ \\ u= \int\limits {-2xe^{-2x}} \, dx =xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C u'e^{2x}=-2x\\ \\ u= \int\limits {-2xe^{-2x}} \, dx =xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C](https://tex.z-dn.net/?f=u%27e%5E%7B2x%7D%3D-2x%5C%5C+%5C%5C+u%3D+%5Cint%5Climits+%7B-2xe%5E%7B-2x%7D%7D+%5C%2C+dx+%3Dxe%5E%7B-2x%7D%2B+%5Cfrac%7Be%5E%7B-2x%7D%7D%7B2%7D+%2BC)
Обратная замена
![t=uv=e^{2x}*(xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C)=Ce^{2x}+x+0.5 t=uv=e^{2x}*(xe^{-2x}+ \frac{e^{-2x}}{2} +C)=Ce^{2x}+x+0.5](https://tex.z-dn.net/?f=t%3Duv%3De%5E%7B2x%7D%2A%28xe%5E%7B-2x%7D%2B+%5Cfrac%7Be%5E%7B-2x%7D%7D%7B2%7D+%2BC%29%3DCe%5E%7B2x%7D%2Bx%2B0.5)
![\frac{1}{y^2}=Ce^{2x}+x+0.5\\ \\ y=\pm \dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2x}+x+0.5} } \frac{1}{y^2}=Ce^{2x}+x+0.5\\ \\ y=\pm \dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2x}+x+0.5} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E2%7D%3DCe%5E%7B2x%7D%2Bx%2B0.5%5C%5C+%5C%5C+y%3D%5Cpm+%5Cdfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7BCe%5E%7B2x%7D%2Bx%2B0.5%7D+%7D++)
Нашли общее решение
Теперь решим Задачу Коши: y(0)=-1
![-1=-\dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2\cdot0}+0+0.5} } \\ \\ 1= \dfrac{1}{\sqrt{C+0.5}} \\ \\ C=0.5 -1=-\dfrac{1}{ \sqrt{Ce^{2\cdot0}+0+0.5} } \\ \\ 1= \dfrac{1}{\sqrt{C+0.5}} \\ \\ C=0.5](https://tex.z-dn.net/?f=-1%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7BCe%5E%7B2%5Ccdot0%7D%2B0%2B0.5%7D+%7D++%5C%5C+%5C%5C+1%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7BC%2B0.5%7D%7D+%5C%5C+%5C%5C+C%3D0.5)
- частное решение
Пусть
Пусть
Решение Бернулли разбивается на 2 случая:
1) Предположим что второе слагаемое равен нулю
Интегрируя
2)
Обратная замена
Нашли общее решение
Теперь решим Задачу Коши: y(0)=-1
yugolovin:
Это уравнение нельзя назвать линейным, но оно сводится к линенйному
Похожие вопросы
Предмет: Английский язык,
автор: gurola90
Предмет: Українська мова,
автор: vikalina833
Предмет: Другие предметы,
автор: vasilyevavlada151120
Предмет: Математика,
автор: parkdilyara22
Предмет: Психология,
автор: julianapushniko