Question

Количество различных корней уравнения sin5xcosx=sin4x на [3пи/2; 2пи]

Answer 1

$sin 5x*cos x=sin 4x$,                          $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$

$frac{1}{2} [sin(5x+x)+sin(5x-x)]=sin 4x$

$frac{1}{2} (sin 6x+sin 4x)=sin 4x$

$sin 6x+sin 4x=2sin 4x$

$sin 6x+sin 4x-2sin 4x=0$

$sin 6x-sin 4x=0$

$2cos frac{6x+4x}{2} *sin frac{6x-4x}{2} =0$

$2cos 5x *sin x=0$

$cos 5x *sin x=0$

$cos 5x =0$                       или     $sin x=0$

$5x= frac{pi }{2} + pi k,$ $k$ ∈ $Z$     или       $x= pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x= frac{pi }{10} + frac{ pi k}{5} ,$  $k$ ∈ $Z$

$1)$
$k=5,$     $x= frac{ pi }{10} + pi = frac{11 pi }{10}$ ∉    $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$

$k=6,$     $x= frac{ pi }{10} + frac{6 pi }{5} = frac{13 pi }{10}$  ∉    $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$
 
 $k=7,$     $x= frac{ pi }{10} + frac{7 pi }{5} = frac{15 pi }{10}=1.5 pi$ 
 
 $k=8,$     $x= frac{ pi }{10} + frac{8 pi }{5} = frac{17 pi }{10}=1.7 pi$

$k=9,$     $x= frac{ pi }{10} + frac{9 pi }{5} = frac{19 pi }{10}=1.9 pi$

$k=10,$     $x= frac{ pi }{10} +2 pi =2.1 pi$  ∉    $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$

$2)$
$n=0,$     $x= 0$  ∉   $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$

$n=1,$     $x= pi$  ∉    $[ frac{3 pi }{2} ;2 pi ]$

$n=2,$     $x=2 pi$      

Ответ: $4$ различных корня