Question

Докажите, что разность четвертых степеней двух натуральных чисел, не кратных 5, делится на 5.

Answer 1

Положим что числа равны a,b тогда по условию получим разность a^4-b^4 требуется доказать то что полученная разность делится на 5 . Так как числа 5 простое , а числа a,b не кратны 5 , значит (a,5)=(b,5)=1 .

По малой теореме Ферма получим что a^4 даёт остаток равный 1 при делении на 5 , аналогично и с b . Тогда a^4-b^4 даёт остаток равный 0 при делении на 5 .