Question

Нужна помощь с дифф. уравнением

Answer 1

$xy+y^2=(2x^2+xy)y`\lambda^2 xy+ lambda^2 y^2=( lambda^22x^2+ lambda^2 xy)y`\ lambda^2(xy+y^2)= lambda^2(2x^2+xy)y`\xy+y^2=(2x^2+xy)y`$
Данное дифференциальное уравнение является однородным. Поэтому производим две замены:
$y=tx=>t=frac{y}{x};y`=t`x+t$
$xtx+(tx)^2=(2x^2+xtx)(t`x+t)\frac{(t^2+t)}{(t+2)}-t=frac{dt}{dx}x\frac{t^2+t-t^2-2t}{(t+2)dt}=frac{x}{dx}\-frac{(t+2)}{t}dt=frac{1}{x}dx\-intfrac{t+2}{t}dt=intfrac{1}{x}dx\-int(1+frac{2}{t})dt=intfrac{1}{x}dx\-(t+2ln|t|)=ln|x|\t+2ln|t|=ln|x|+C\frac{y}{x}+2ln|frac{y}{x}|-ln|x|=C$
$frac{y}{x}+2ln|frac{y}{x}|-ln|x|=C;C-const$ общий интеграл