Question

Помогите, кто-нибудь решить эти три примера (один на производную, а два на интегралы). Буду очень признательна! :)

Answer 1

$1); ; y=sqrt[x]{x^{n}}; ; to ; ; ; y=x^{frac{n}{x}}\\lny=ln(x^{frac{n}{x}}); ; to ; ; ; lny= frac{n}{x}cdot lnx; ; to ; ; (lny)'=( frac{n}{x}cdot lnx )'\\ frac{y'}{y}= -frac{n}{x^2}cdot lnx+frac{n}{x}cdot frac{1}{x}=frac{n}{x^2}cdot (1-lnx)\\y'=ycdot frac{n}{x}cdot (1-lnx)\\y'=sqrt[x]{x^{n}}cdot frac{n}{x}cdot (1-lnx)$

$2); ; int frac{xcdot lnx, dx}{(1+x^2)^2} =Big [u=lnx; ,; du=frac{dx}{x},; dv= frac{x, dx}{(1+x^2)^2}; ,\\v= frac{1}{2} cdot int frac{2xcdot dx}{(underbrace {1+x^2}_{t})^2}= frac{1}{2}cdot int frac{dt}{t^2}=frac{1}{2}cdot frac{-1}{t}=- frac{1}{2(1+x^2)} ; Big ]=\\=- frac{lnx}{2(1+x^2)}+int frac{dx}{2x(1+x^2)} =I\\ frac{1}{x(1+x^2)}= frac{A}{x}+ frac{Bx+C}{1+x^2}= frac{A(1+x^2)+x(Bx+C)}{x(1+x^2)} \\1=A+Ax^2+Bx^2+Cx=x^2(A+B)+Cx+Acdot x^0\\x^2; |; A+B=0$

$x; |; ; C=0\\x^0; |; A=1; ; ,; ; ; B=-A=-1\\I=- frac{lnx}{2(1+x^2)}+frac{1}{2}cdot int (frac{1}{x} -frac{x}{1+x^2})dx=\\=-frac{lnx}{2(1+x^2)} +frac{1}{2}cdot int frac{dx}{x}-frac{1}{2}cdot frac{1}{2}int frac{2x, dx}{1+x^2}=Big [int frac{2x, dx}{1+x^2}=int frac{dt}{t}=ln|t|+C_1 Big ]=\\= - frac{lnx}{2(1+x^2)} +frac{1}{2}cdot ln|x|-frac{1}{4}cdot ln|1+x^2|+C$

$3); ; int frac{dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}=I\\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=frac{A}{x+1}+ frac{B}{x+2} + frac{C}{x+3}\\x=-1:; ; A= frac{1}{1cdot 2}=frac{1}{2}\\x=-2:; ; B= frac{1}{-1cdot 1}=-frac{1}{2} \\x=-3:; ; C= frac{1}{-2cdot (-1)} =frac{1}{2}\\I=int Big ( frac{1}{2(x+1)} -frac{1}{2(x+2)} +frac{1}{2(x+3)} Big )dx=$

$= frac{1}{2}cdot Big (ln|x+1|-ln|x+2|+ln|x+3|+lnCBig )=\\= frac{1}{2}cdot ln frac{|x+1|cdot |x+3|cdot C}{|x+2|} =frac{1}{2}cdot ln Big |frac{C(x^2+4x+3)}{x+2}Big |$