Question

ABCD-тетраэдр, у которого основанием является треугольник ABC. Все рёбра тетраэдра равны. Точка Е-середина отрезка DA, а точка F-середина стороны ВС. Докажите, что EF•AD=0

Answer 1

То есть надо доказать, что EF и AD взаимно перпендикулярны.

Разрежем пирамиду плоскостью проходящей через ребро AD и точку F. В сечение получится треугольник ADF В котором стороны AF и DF равны (это высоты/медианы) равносторонних треугольников, которые образуют грани пирамиды. Ну равнобедренном треугольнике высота (FE) совпадает с медианой (FE) и стало быть FE перпендикулярна AD. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.