Question

Отрезки АС и ВD пересекаются в точке О, причем АО = 15 см, ВО = 6 см, СО = 5 см, DO = 18 см. а) Докажите, что четырехугольник АВСD – трапеция. б) Найдите отношение площадей треугольников АОD и ВОС.

Answer 1

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Значит треугольники ВОС и АОD подобны, так как ВО/OD=CO/OA=1/3, а <BOC=<AOD как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что <DAO=<BCO как углы против соответственных сторон подобных треугольников. А эти углы - накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Значит ВС параллельна АD и четырехугольник АВСD - трапеция. 
б) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен
ВО/ОD=6/18=1/3, значит Saod/Sboc=1/9.