Question

В равнобедренную трапецию с углом 30 градусов, вписана окружность. Средняя линия трапеции равна 12. Чему равен радиус окружности?

Answer 1

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, AB = CD. Средняя линия трапеции = 12, т.е. BC + AD = 2*12 = 24. Угол А = 30 градусам.

Для любого четырехугольника, описанного около окружности справедливо: 
BC + AD = AB + CD
24 = 2* AB
AB = 12.

Опустим высоту BH. Для прямоугольного треугольника известно, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, т.е.
BH = AB : 2 =  12 : 2 = 6.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен половине высоты, значит, r = BH : 2 = 6 : 2 = 3.

Ответ: 3.