Question

Докажите,что функция y=x^2-10x+35 может принимать только положительные значения.

Answer 1

первый способ (свойства вершины параболы)
$y=x^2-10x+35$
найдем координаты вершины параболы
$a=1;b=-10;c=35$

$x_w=-frac{b}{2a};y_w=c-frac{b^2}{4a}$
$x_w=-frac{-10}{2*1}=5$
$y_w=35-frac{(-10)^2}{4*1}=10$
так как a=1>0 то ветви направлены верх и функция принимает наименьшее значение в вершине параболы
т.е. для данной функции наименьшее значение будет 10 (оно положительное) при х=5
доказано

второй способ (выделение полного квадрата)
$x^2-10x+35=x^2-10x+25+10=(x^2-10x+25)+10=$
$(x^2-2*x*5+5^2)+10=(x-5)^2+10 geq 0+10=10>0$
так как квадрат любого действительного выражения неотрицателен
доказано.

третий способ: (по коэффициенту при x^2 и дискриминанту)
$a=1;b=-10;c=35$
$a>0$- ветви направлены параболы верх
$D=b^2-4ac$
$D=(-10)^2-4*1*35=-40$
$D<0$ - следовательно точек пересечений с осью Ох нет,

$a>0; D<0$ - значит данная функция может принимать только положительные значения.