Question

Вычислить неопределенные интегралы методом ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ:
а) $intlimits {x* e^{-x/7} } , dx$
б) $intlimits { x^{-5} *lnx } , dx$

Answer 1

$displaystyle int udv=uv- int v du$
$displaystyle a) u=- frac{x}{7}, dv=-7e^{- frac{x}{7}} dx, du=- frac{1}{7}dx, v=49e^{- frac{x}{7}}$
$displaystyle int xe^{- frac{x}{7}}dx=-7e^{- frac{x}{7}}- int -7e^{- frac{x}{7}}dx=-7e^{- frac{x}{7}}+ int 7e^{- frac{x}{7}}dx=$
$displaystyle =-7xe^{- frac{x}{7}}-49e^{- frac{x}{7}}=e^{- frac{x}{7}}(x+7)+C$
$displaystyle b) u=lnx, dv= frac{1}{x^5}dx, du= frac{1}{x}dx, v=- frac{1}{4x^4}$
$displaystyle int x^{-5}lnxdx=int frac{lnx}{x^5}dx=- frac{lnx}{4x^4}- int - frac{1}{4x^4}* frac{1}{x} dx=$
$displaystyle = - frac{lnx}{4x^4}- int - frac{1}{4x^5}dx= - frac{lnx}{4x^4}+int frac{1}{4x^5}dx=- frac{lnx}{4x^4}- frac{1}{16x^4}=$
$displaystyle =- frac{4lnx+1}{16x^4}+C$