Question

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны,
а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите
какое-нибудь одно такое число

Answer 1

Пусть число имеет вид abc.

Заметим, что если a^2 + b^2 + c^2 делится на 4, то a, b, c - четные (нечётные квадраты дают остаток 1 при делении на 4, а четные - остаток 0; нужно, чтобы сумма остатков делилась на 4. Несложно проверить, что так будет только в случае 0 + 0 + 0). Обозначим a = 2A, b = 2B, c = 2C; A, B, C - различные целые числа, не превосходящие 4.

Нужно, чтобы a^2 + b^2 + c^2 = 4(A^2 + B^2 + C^2) не делилось на 16. Значит, A^2 + B^2 + C^2 должно не делиться на 4, среди A, B, C должно быть хоть одно нечётное число.

Число делится на 11, если на 11 делится знакочередующаяся сумма a - b + c = 2(A - B + C). Чтобы она делилась на 11, нужно, чтобы A - B + C делилось на 11. Так как A, B, C - маленькие числа, то так будет, только если A - B + C = 0, B = A + C.

Чтобы число оказалось трёхзначным, требуется выполнение условия A > 0. Кроме того, чтобы A и B были различными, необходимо, чтобы С тоже не равнялось нулю.

Осталось немного поперебирать:
1) A = 1. C может быть равно 2 или 3, иначе или оно равно A, или A + C > 4.
- C = 2, B = A + C = 3: получится число 264
- C = 3, B = 4: число 286
2) A = 2. Тогда C = 1, B = 3, число 462.
3) A = 3. C = 1, B = 4, число 682.

В ответ можно записать любое из 4 чисел: 264, 286, 462 или 682.