Question

1) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 

Answer 1

$sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 \\ 2sin frac{x+4x}{2}cos frac{x-4x}{2} +2sin frac{2x+3x}{2}cos frac{2x-3x}{2}=0 \\ sin frac{5x}{2}cos frac{3x}{2} +sin frac{5x}{2}cos frac{x}{2}=0 \\ sin frac{5x}{2}(cos frac{3x}{2} +cos frac{x}{2})=0 \\ sin frac{5x}{2}=0 \ frac{5x}{2}= pi n \ x= frac{2}{5} pi n,nin Z$

$cos frac{3x}{2} +cos frac{x}{2}=0 \ 2cos frac{frac{3x}{2}+ frac{x}{2}}{2} cos frac{frac{3x}{2}- frac{x}{2}}{2} =0 \ cosxcos frac{x}{2} =0 \ cosx=0 \ x= frac{ pi }{2} + pi n,nin Z \ cos frac{x}{2} =0 \ frac{x}{2} = frac{ pi }{2} + pi n,nin Z \ x= pi +2 pi n,nin Z$



$cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 \\ 2cos frac{x+4x}{2} cos frac{x-4x}{2} +2cos frac{2x+3x}{2} cos frac{2x-3x}{2} =0 \\ cos frac{5x}{2} cos frac{3x}{2} +cos frac{5x}{2} cos frac{x}{2} =0 \\ cos frac{5x}{2} (cos frac{3x}{2} + cos frac{x}{2}) =0 \\ cos frac{5x}{2}=0 \ frac{5x}{2}= frac{ pi }{2} + pi n \ x= frac{ pi }{5} + frac{2}{5} pi n, nin Z$

$cos frac{3x}{2} + cos frac{x}{2}=0$ решали в прошлом уравнении