Question

в правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60 найдите боковую поверхность пирамиды если расстояние от центра основания до боковой грани равно 1

Answer 1

Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.
Это сечение даст плоский угол между гранью и основанием.
Заданное расстояние от центра основания до боковой грани - это перпендикуляр из точки пересечения медиан основания к апофеме.
Он является катетом в треугольнике против угла в 60 градусов.
Гипотенуза этого треугольника - это (1/3) медианы h (она же высота) основания.
(1/3)h = 1/(sin 60°) = 1/(√3/2) = 2/√3.
Отсюда h = (2/√3)*3 = 6/√3 = 2√3.
Находим сторону а основания: a = h/cos 30° = (2√3)/(√3/2) = 4.
Периметр основания Р = 3а = 3*4 = 12.
Апофема А как гипотенуза при угле в 90°-60 = 30° равна двум отрезкам
(1/3)h: А = 2*((1/3)h) = 2*(2/√3) = 4/√3.
Тогда площадь S боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна:
S = (1/2)PA = (1/2)12*(4√3) = 24/√3 = 8√3 ≈ 13.85641 кв.ед.