Question

Решите уравнение:
sinx+cosx=-1

Answer 1

$sinx+cos x=-1$
метод введения вспомогательного угла для уравнений вида
$Asint+Bsin t=C$
$Asin t+Bcos t=sqrt{A^2+B^2}*(frac{A}{sqrt{A^2+B^2}}sin t+frac{B}{sqrt{A^2+B^2}}cost)=$
$sqrt{A^2+B^2}(cos psi sin t+sin psi cos t)=sqrt{A^2+B^2}sin(psi+x)$

$A=1;B=1;sqrt{A^2+B^2}=sqrt{1^2+1^2}=sqrt{2}=frac{sqrt{2}}{2}$

$frac{sqrt{2}}{2}sin x+frac{sqrt{2}}{2}cosx=frac{-sqrt{2}}{2}$
$cos frac{pi}{4}sin x+sin frac{pi}{4}cos x=frac{-sqrt{2}}{2}$
$sin(x+frac{pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$
$x+frac{pi}{4}=(-1)^k*arcsin (-frac{sqrt{2}}{2})+pi*k$
$x=-frac{pi}{4}+(-1)^{k+1}*frac{pi}{4}+pi*k$, k є Z

Answer 2

Решите уравнение:
sinx+cosx= -1 ;
Можно решить разными  способами  
Способ 1.
---------------
sinx+ (1 +cosx ) =0 ;
2sin(x/2)*cos(x/2) +2cos²(x/2) =0 ;
2cos(x/2)*(sin(x/2) +cos(x/2) =0 ;
a)
cos(x/2) =0 ;
x/2 =π/2 +π*n , n∈ Z⇔x =π +2π*n , n∈ Z  ⇔ x =π( 2n +1)  , n∈ Z
x =π*k   , k _нечетное число .
б)
sin(x/2) +cos(x/2) =0 ;
sin(x/2) = -cos(x/2);  * * * cos(x/2) ≠ 0 * * *
tq(x/2) = - 1 ;
x/2 = -π/4 + π*n , n∈ Z ;
x = - π/2 + 2π*n , n∈ Z .

ответ : x = - π/2 + 2π*n , n∈ Z  и   x = π*k , k _нечетное число.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * sin2α=2sinα*cosα ; cos2α=2cos²α  - 1 ⇔1 +cos2α=2cos²α  * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Способ 2. 
---------------
Способ (вспомогательного ) дополнительного угла
√2( (1/√2) *sinx +  (1/√2)*cosx ) = -1 ;
sin(π/4) *sinx + cos(π/4) *cosx = -  1/√2 ;
cos(x -π/4) =  -  1/√2 ;
x - π/4  = ± (π -π/4) +2π*n , n  ∈ Z ;
x=  π/4 ± 3π/4 +2π*n , n  ∈ Z . можно   представить по двум сериям:
x₁ =  π/4 - 3π/4 +2π*n , n  ∈ Z  ⇔  x₁ = - π/2 +2π*n , n  ∈ Z ;
x₂ = π/4 + 3π/4 +2π*n , n  ∈ Z  ⇔ x₂  = π(2n+1)    , n  ∈ Z . * * * (2 n+1=k

ответ : - π/2 +2π*n , n  ∈ Z  и   π*k , k_нечетное число .
================================================
Можно и применить универсальные  постановки :
sinx =2tq(x/2) / (1+tq²(x/2) ) ; cosx =(1- cos²(x/2)) /(1+tq²(x/2) )