Question

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста решить
исследовать функцию методом дифференциального исчисления y=x^2/(x^2+4) и построить график

Answer 1

ДАНО

Y = x²/(x² + 4)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.

$lim_{x to infty frac{1}{1+ frac{4}{x^2}}=1$  

limY(+∞) = 1. 

Горизонтальная асимптота - Y =  1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) =  Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= frac{2x}{x^2+4}- frac{2x^3}{(x^2+4)^2}$

Корень при Х=0. Схема знаков производной.

(-∞)__(<0-убыв)__(х=0)_(<0-убыв)__(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - нет, минимум  – Ymin(0)  = 0.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

$Y$

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-2√3/3, х3= 2√3/3.  (≈1,15) 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-2√3/3)∪(2√3/3;+∞), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-2√3/3;2√3/3). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;1) 

11. График в приложении