Question

В равнобедренном треугоьнике боковая сторона относится к основанию как 5:3. В каком отношении делит высоту треугольника,проведенную к его основанию,биссектриса угла при основании?

Answer 1

Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда AB = BC = 5k, AC = 3k.
Опустим высоту BH. $BH = sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=sqrt{(5k)^{2}-(frac{3k}{2})^{2}}=frac{ksqrt{91}}{2}$.

BH - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, значит, является и биссектрисой. AP - биссектриса (по условию). O - точка пересечения биссектрис BH и AP, значит, OH ($OH perp AC$) и OT ($OT perp AB$) - радиусы вписанной в треугольник окружности. Найдем радиус $r= frac{2S}{a+b+c}$.

$p= frac{5k+5k+3k}{2}=frac{13k}{2}$
$S_{ABC}= sqrt{frac{13k}{2}*(frac{13k}{2}-5k)^{2}*(frac{13k}{2}-3k)}=frac{3k^{2}sqrt{91}}{4}$
$r=OH=OT=frac{2*3k^{2}sqrt{91}}{4*(5k+5k+35)}=frac{3ksqrt{91}}{26}$

$BO = BH - OH = frac{ksqrt{91}}{2}-frac{3ksqrt{91}}{26}=frac{5ksqrt{91}}{13}$

$frac{BO}{OH}= frac{5ksqrt{91}*26}{13*3ksqrt{91}}=frac{10}{3}$

Ответ: $frac{10}{3}$.