Question

Помогите 7,8,9 пожалуйста)

Answer 1

8) преобразуем произведение в сумму (разность) по формуле:
$sina*sinb= frac{1}{2}(cos(a-b)-cos(a+b))$

выносим константу 1/2 за знак интеграла и берем его от каждого косинуса по отдельности:

$intlimits , (sin4xsin3x)dx = intlimits , frac{1}{2}(cosx-cos7x) dx= \ \ = frac{1}{2}( intlimits ,cosx dx - intlimits ,cos7x dx )= frac{1}{2} (sinx- frac{1}{7} sin7x)+C$

9) Применяем основную тригонометрическую подстановку:

$tg frac{x}{2} =t \ \ sinx= frac{2t}{1+t^2} \cosx= frac{1-t^2}{1+t^2}\ dx= frac{2dt}{1+t^2}$

$intlimits , frac{1}{5+2* frac{2t}{1+t^2}+4* frac{1-t^2}{1+t^2} } * frac{2dt}{1+t^2} = intlimits , frac{2dt}{5(1+t^2)+2*2t+4*(1-t^2)} = intlimits , frac{2dt}{5+5t^2+4t+4-4t^2} \ \ = intlimits , frac{2dt}{t^2+4t+9} =2 intlimits , frac{1}{t^2+4t+4-4+9} dt=2 intlimits , frac{1}{(t+2)^2+5} d(t+2)=\ \ 2 * frac{1}{ sqrt{5} } arctg frac{t+2}{ sqrt{5} } +C= frac{2}{ sqrt{5} } arctg frac{tg frac{x}{2} +2}{ sqrt{5} } +C=$

10) замена:
$x= frac{5}{cost} \ dx= frac{5sint}{cos^2t} dt= frac{5tgt}{cost}dt$

$intlimits{ frac{1}{ sqrt{ (frac{25}{cos^2t}-25)^3} } } } , * frac{5tgt}{cost}dt= intlimits{ frac{1}{( sqrt{ (frac{25}{cos^2t}-25)}) ^3} } } , * frac{5tgt}{cost}dt= \ \ =intlimits{ frac{1}{( sqrt{25 (frac{1}{cos^2t}-1)}) ^3} } } , * frac{5tgt}{cost}dt=intlimits{ frac{1}{( 5sqrt{ (tg^2t)}) ^3} } , * frac{5tgt}{cost}dt= \ \ intlimits{ frac{1}{ (5tgt) ^3} } } , * frac{5tgt}{cost}dt=$

$intlimits{ frac{1}{ 125tg^3t} } } , * frac{5tgt}{cost}dt= intlimits{ frac{1}{ 25tg^2tcost} } } , dt= frac{1}{25} intlimits{ frac{1}{ frac{sin^2t}{cos^2}cost } } } , dt= frac{1}{25} intlimits{ frac{cost}{ sin^2t} } } , dt= \ \= frac{1}{25} intlimits{ frac{1}{ sin^2t} } } , d(sint)= frac{1}{25} intlimits{sin^{-2}t } } , d(sint)= frac{1}{25}* frac{sin^{-1}t}{-1}+C= -frac{1}{25sint}+\ \ +C$

Теперь осталось выполнить обратную замену:

$x= frac{5}{cost} = textgreater cost= frac{5}{x} \ \ sint= sqrt{1-cos^2t}= sqrt{1- frac{25}{x^2} } = sqrt{frac{x^2-25}{x^2} }=frac{ sqrt{x^2-25}}{x} }$

$- frac{1}{25*frac{ sqrt{x^2-25}}{x} }} +C=- frac{x}{25 sqrt{x^2-25}}+C$