Question

докажите что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата гипотенузы.

Answer 1

Доказательство: Пусть ABC данный треугольник, АВ- его гипотенуза

AN, BM,CL – его медианы

С прямоугольных треугольников ANC,BMC,ABC  по теореме Пифагора:

AN^=AC^2+(BC2)^2=AC^2+14 *BC^2

BM^2=BC^2+(AC2)^2=BC^2+14* AC^2

AC^2+BC^2=AB^2

CL=12AB(медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине)

CL^2=14AB^2 ,

AN^2+BM^2+CL^2= AC^2+14 *BC^2+ BC^2+14* AC^2 +14AB^2=

54*(AC^2+BC^2)+14*AB^2=54*AB^2+14*AB^2=64*AB^2=1.5*AB^2

AN^2+BM^2+CL^2=1.5*AB^2

Доказано