Question

В равнобедренном треугольнике радиусы описанного и вписанного кругов, соответственно равняются 50 и 24 см. Обчислить периметр треугольника

Answer 1

Обозначим центр описанной окружности точкой O₁, вписанной O₂,а высоту, проведённую к основанию, точкой H.
Точки H,  O₂, O₁ и B будут лежать на одной прямой, т.к. BH является и медианой, и высотой (значит, серединным перпендикуляром), и биссектрисой.
Найдём длину отрезка O₁O₂.
Длина этого отрезка равна расстоянию между центрами окружностей, которое находится по формуле Эйлера:
$O_{1}O_{2}= sqrt{R^2 - 2Rr} = sqrt{50^2 - 2 cdot 24 cdot 50} = sqrt{2500 - 2400} = sqrt{100} = 10.$
AO₁ = R = 50.
O₂H = r = 24.
O₁H = O₂H + O₁O₂ = 1- + 24 = 34.
По теореме Пифагора в ΔAO₁H:
$AH = sqrt{AO_{1}^{2} - O_{1}H^2} = sqrt{50^2 - 34^2} = sqrt{2500 - 1156} = sqrt{1344} = 8 sqrt{21}$
Т.к. BH - медиана, то $AC = 2AH = 16 sqrt{21}$
По теореме Пифагора в ΔHBC:
$BC = sqrt{BH^2 + HC^2} = sqrt{84^2 + 1344} = sqrt{8400} = 20 sqrt{21}$
Т.к. боковые стороны равны, то $AB = BC = 20 sqrt{21}$
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 16 sqrt{21} + 2 cdot 20 sqrt{21} = 56 sqrt{21}$
Ответ: $P_{ABC} = 56 sqrt{21}.$