Question

Докажите, что 2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=(n-1)*2^n+1

Answer 1

Естественно, доказывается это методом математической индукции:
1) При n = 2:
$2 cdot 2^2 = (2 - 1) cdot 2^{2 + 1} \ 2^3 = 1 cdot 2^3 \ 8 = 8$
Равенство верно, переходим к следующему шагу:
2) Пусть при n = k равенство верно:
$2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k = (k - 1) cdot 2^{k + 1}$
3) Шаг индукции: докажем, что и при n = k + 1 равенство тоже верно:
$2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k + (k + 1) cdot 2^{k + 1}= (k - 1 + 1) cdot 2^{k + 1 + 1 } \ 2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k + (k + 1) cdot 2^{k + 1}= k cdot 2^{k + 2} \ 2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k = k cdot 2^{k + 2} - (k + 1) cdot 2^{k + 1} \ 2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k = 2k cdot 2^{k + 1} - (k + 1) cdot 2^{k + 1} \ 2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k = 2^{k + 1} cdot (2k - k - 1)$
$2 cdot 2^2 + 3 cdot 2^3 + ... + k cdot 2^k = (k - 1) cdot 2^{k + 1}$
Мы пришли к равенству в пункте (2), которое предполагало, что при n = k равенство верно. Значит, для любых n ∈ N равенство также верно.

Answer 2

так это не n = 1

Answer 3

а n = 2

Answer 4

причем тут n = 1