Question

Найти наибольшее значение функции y=sin^2(2x) / sin^4(x)+cos^4(x)

Answer 1

$y= frac{sin^22x}{sin^4x+cos^4x} =frac{sin^22x}{(sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x)-2sin^2x*cos^2x} =$$frac{sin^22x}{(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x*cos^2x}=frac{sin^22x}{1- frac{sin^22x}{2}}=frac{2sin^22x}{2- sin^22x} \ y'=2* frac{2sin2x*cos2x*2*(2- sin^22x)-sin^22x*(-2sin2x*cos2x*2)}{(2- sin^22x)^2}=$$2* frac{4sin2x*cos2x*(2- sin^22x+sin^22x)}{(2- sin^22x)^2} =frac{8sin4x}{(2- sin^22x)^2}$
В точке экстремума y' = 0.
$frac{8sin4x}{(2- sin^22x)^2}=0$
sin 4x = 0
4x = πn, n ∈ Z
x = πn/4, n ∈ Z
Среди этих экстремумов максимумы: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
Максимальное значение функции:
$y_{max}=y( frac{ pi }{4} )=frac{sin^2(2*frac{ pi }{4})}{sin^4frac{ pi }{4}+cos^4frac{ pi }{4}}=frac{sin^2frac{ pi }{2}}{sin^4frac{ pi }{4}+cos^4frac{ pi }{4}}=frac{1}{ (frac{ sqrt{2} }{2}) ^4+(frac{ sqrt{2} }{2}) ^4}=frac{1}{ frac{1 }{4}+frac{1 }{4}}=2$

Answer 2

спасибо за проделанную работу