Question

В прямоугольном треугольнике ABCбиссектриса острого угла Aделит катет BCна отрезки 2 см и 4 см. Найдите: c, b, $m_{c}$ , $h_{c}$ , r, R

Answer 1

Решение: АК – биссектрисса угла А ВК=4, СК=2, Угол С – прямой.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (свойство биссектриссы треугольника), тогда

ACAB=CKBK

ACAB=24=0.5

AB=2*AC

BC=2+4=6 см

По теореме Пифагора

AC^2+BC^2=AB^2

 AC^2+6^2=(2*AC)^2=4*AC^2

3*AC^2=36

AC^2=12

b=AC=корень(12)=2*корень(3) см

c=AB=2*AC=2* 2*корень(3)=4*корень(3) см

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине длины гипотенузы

m ( c )=12*c=12*4*корень(3)=2*корень(3) см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S=12*a*b=12*6*2*корень(3)= 6*корень(3) см^2

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину основания, к которому она приведена

S=12*c*h(c)

Высота равна h(c)=2*Sc=2*6*корень(3)( 4*корень(3))=3 см

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы

R=12*c=12*4*корень(3)=2*корень(3) см

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

r=(a+b-c)2=(6+2*корень(3)-4*корень(3))2=3-корень(3) см

Answer 2

1)AV - биссектриса

по св-ву бисскетрисы => что ACAB = CVVB = 12

т.к. AB = 2AC => что угол ABC = 30 градусов, угол CAB = 60 градусов

AB = BCcos30 = 12корень из 3

AC = 6корень из 3

2)CM - медиана

Рассмотрим треугольник CAM

AM = 6корень из 3 = AC

по теореме косинусов находим медиану

3)Пусть CK - высота

Рассмотрим треугольник AKC

AK = ACcos60 = 3корень из 3

KB = AB - AK = 3

KC^2 = AK KB = 9 корней из 3

4)Sabc = CBAC2 = 18корней из 3

p=(9+3корня из 3)корень из 3

r = Sp = 6(6+корень из 3)

R = abc4S = 2корень из 3