Question

при каких значения параметра а функция у= ax³+(3/2)x²+ax возрастает всюду на R

Answer 1

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X.

Следовательно, чтобы функция возрастала на всём множестве действительных чисел, производная должна быть положительна на всей числовой оси.

Найдём производную:

f(x)=(ax³+(3/2)x²+ax)'=3ax²+3x+a
Необходимо, чтобы 3ax²+3x+a>0 для всех х.
Тогда должны выполняться два условия:
1) а>0, тогда ветви параболы будут направленны вверх.
2) D<0, тогда не будет нулей, график производной будет располагаться выше оси Ох. 
Найдём дискриминант, учитывая, что в выражении 3ax²+3x+a
первый коэффициент равен 3а, второй коэффициент равен 3, свободный член а.
D=3²-4∙3а∙а=9-12а²
9-12а²<0
4а²-3>0
Решим методом интервалов:
а1=-√3/2; а2=√3/2
/////////////////                /////////////////
-∞       -√3/2           √3/2          +∞
      +               -               +
а<-√3/2
а>√3/2
Учитывая, что а>0, получаем ответ: а>√3/2