Question

Сторона BC треугольника ABC равна 3 корня из 3. На стороне AB отмечена точка Р так, что угол ABC=углу ACP. Найдите площадБ треугольника, если BP= 9 корней из 3 :5; AP= 16 корней из 3 :5.

Answer 1

Δ ABC подобен Δ APC (по двум углам). При этом АВ = АР + ВР = $frac{9 sqrt{3} }{5} + frac{16sqrt{3} }{5} = frac{25sqrt{3} }{5} =5 sqrt{3}$.
Из подобия треугольников 
$frac{AC}{AP} = frac{AB}{AC}$⇒
$AC^{2} =AB*AP=5 sqrt{3} * frac{16}{5} sqrt{3} =48$
$AC= sqrt{48} =4 sqrt{3}$/
Но $AC^{2} + BC^{2} = (4 sqrt{3} )^{2} +(3sqrt{3} )^{2} =16*3+9*3=/tex] =[tex](16+9)*3=25*3= (5 sqrt{3} )^{2} = AB^{2}$, что означает, что АВС - прямоугольный треугольник, где ∠АСВ = 90°. Значит, площадь треугольника мы можем найти как половину произведения сторон АС и ВС, составляющих прямой угол. Итак,
$S= frac{AC*BC}{2} = frac{4 sqrt{3} *3 sqrt{3}}{2} =18$