Question

Высота CH прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB, разбивает этот треугольник на два прямоугольных треугольника CAH и CBH (на рис), периметры которых равны соответственно 5 и 12. Найдите периметр треугольника ABC.

Answer 1

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному, поэтому коэффициент подобия треугольников САН и СВН k=Р(САН)/Р(СВН)=5:12 или АН:СН=5:12=5х:12х.
В треугольнике САН АН=5х, СН=12х, значит АС=√(АН²+СН²)=√(25х²+144х²)=13х.
Отношение сторон треугольников САН и АВС: 
АН/АС=5х/13х=5:13.
Так как треугольники САН и АВС подобны, то отношение их периметров такое же как и отношение их сторон.
Р(САН):Р(АВС)=5:13.
Р(САН)=5, значит Р(АВС)=13 - это ответ.