Question

доказать, что если из квадрата нечётного числа вычесть 1 , то результат будет делиться на 8

Answer 1

Доказательство:

Пусть $n$ натуральное число, тогда $2n-1$ будет натуральным и нечётным числом. Возведем данное число в квадрат:

$(2n-1)^2=(2n)^2-4n+1=4n^2 -4n+1$

Вычтем 1 и получим:

$4n^2-4n$

Докажем с помощью математической индукции, что данное число делиться на 8:

При $n=1Rightarrow 4-4=0$, 0 делиться на 8, следовательно условие выполняется.

Предположим что данное число делиться на 8 при некотором $n$. Докажем что данное число делиться на 8 при $n+1$:

$4(n+1)^2-4(n+1)=4(n^2+2n+1)-4n+4=\\=4n^2+8n+4-4n+4=(4n^2-4n)+8n+8=\\(4n^2-4n)+8(n+1)$

По предположению $4n^2-4n$ делиться на 8. Следовательно, существует натуральный $k$ так что:

$4n^2-4n=8k$

Отсюда:

$(4n^2-4n)+8(n+1)=8k+8(n+1)=8(k+n+1)$ следовательно, при $n+1$ данное число тоже делиться на 8. Ч.Т.Д.