Question

В четырехугольнике ABCD угол ABD=угол ACD=90 градусов, АВ=ВD=5, CD=1. Найдите ВС.
Подсказка: Учесть, что точки В и С лежат на окружности с диаметром АD.

Answer 1

По рисунку можно увидеть что треугольники АВО и СОД подобны, по двум углам, из подобия получаем получаем:
$frac{CD}{AB}=frac{OD}{OB}\ frac{OD}{OB}=frac{1}{5}$
так как треугольники оба прямоугольные , найдем гипотенузы общие , отудого катет второго треугольника АС 
$AD=sqrt{2*5^2}=5sqrt{2}\ AC=sqrt{(5sqrt{2})^2-1)}=7$
теперь так как треугольника как сказал подобные ,  справедливы такие соотношение , пусть
 $OB=x OA=7-y AB=5\ togda\ OC=y OD=5-x CD=1$
 получаем:
 $frac{x}{5}=y\ frac{7-y}{5}=5-x\ \ x=frac{15}{4}\ y=frac{3}{4}$
теперь мы знаем стороны , чтобы найти ВС можно поступить двумя способами , 1)найти углы, затем по теореме синусов  или косинусов найти ВС
2)По подобию треугольников ВОС и АОД он  короче 

$OC=frac{3}{4}\ AO=frac{25}{4}\ \ frac{BC}{sqrt{50}}=frac{frac{3}{4}}{frac{25}{4}}\ BC=frac{3sqrt{2}}{5}$