Question

найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого 12 см, если радиус окружности, вписанной в него 1 см

Answer 1

Пусть катеты данного треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза c. Тогда из того, что площадь этого треугольника равна половине произведения катетов, а также произведению половины периметра на радиус вписанной окружности, а сам периметр равен 12:
$left { {{a+b+c=12} atop {ab=12}} right. \ left { {{a+b+sqrt{a^2+b^2}=12} atop {b={12over a}}} right.\a+{12over a}+sqrt{a^2+{144over a^2}}=12\a^2+12+sqrt{a^4+144}=12a\a^4+144=(12a-a^2-12)^2=a^4-24a^3+24a^2+144a^2-288a+144\24a^3-168a^2+288a=0\aneq0Rightarrow24a^2-168a+288=0\a^2-7a+12=0\D=49-48=1\a_1={7+1over2}=4Rightarrow b_1={12over4}=3\\a_2={7-1over2}=3Rightarrow b_2={12over3}=4\\c=sqrt{3^2+4^2}=5$

Гипотенуза прямоугольного треугольника есть диаметр описанной около этого треугольника окружности (является хордой, на которую опирается вписанный угол величиной 90°)

Значит радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине длины гипотенузы данного треугольника:

$R={cover2}=2.5$

Ответ: R=2.5