Question

Даю 99 баллов. Помогите пожалуйста! а + с = 8. используя неравенство $a^{2} - 2ac + c^{2} geq 0$, докажите, что
А) а^2+c^2>=32
б) $a^{4} + c^{4} geq 512$

Answer 1

Из неравенства следует, что 2ac ≤ a² + c²
Возведем в квадрат обе части данного равенства:
a² + 2ac + c² = 64
Заменим 2ас выражением большим или равным ему, получим, что левая часть больше или равна правой:
a² + c² + a² + c² ≥ 64
2(a² + c²) ≥ 64
a² + c² ≥ 32                      a) доказано
Возведем обе части этого неравенства в квадрат:
a⁴ + 2a²c² + c⁴ ≥ 1024
Из неравенства a⁴ - 2a²c² + c⁴ ≥ 0 следует, что 2a²c² ≤ a⁴ + c⁴
Заменим 2а²с² большим или равным ему выражением  a⁴ + c⁴:
2(a⁴ + c⁴) ≥ 1024
a⁴ + c⁴ ≥ 512