Question

Тригонометрическое уравнение:
(tgx+tg2x)(1-tgx*tg2x)=-1
Если можно,то с решением пожалуйста

Answer 1

$tgx=y$

$tg2x= frac{2tgx}{1-tg^{2}x}= frac{2y}{1-y^{2}}$

$tgx+tg2x=y+ frac{2y}{1-y^{2}}= frac{y-y^{3}+2y}{1-y^{2}}= frac{-y^{3}+3y}{1-y^{2}}$

$1-tgx*tg2x=1-y* frac{2y}{1-y^{2}}= frac{1-y^{2}-2y^{2}}{1-y^{2}}= frac{-3y^{2}+1}{1-y^{2}}$

$frac{-y^{3}+3y}{1-y^{2}}: frac{-3y^{2}+1}{1-y^{2}}=-1$

$left { {{frac{-y^{3}+3y}{-3y^{2}+1}=-1} atop {1-y^{2} neq 0}} right.$

$left { {{-y^{3}+3y=3y^{2}-1; 3y^{2}-1 neq 0} atop {y^{2} neq 1}} right.$

$y^{3}+3y^{2}-3y-1=0$

$(y-1)(y^{2}+y+1)+3y(y-1)=0$

$(y-1)(y^{2}+y+1+3y)=0$

$(y-1)(y^{2}+4y+1)=0$

$y=1$  или   $y^{2}+4y+1=0$

не удовл.    или   $frac{D}{4}=2^{2}-1=3$

$y_{1,2}=-2 pm sqrt{3}$

$tgx =-2 pm sqrt{3}$

$x= arctg(-2 pm sqrt{3})+ pi n,n in Z$