Question

найти тангенсы острых углов прямоугольного треугольника зная что радиус вписанной окружности относится к радиусу описанной окружности около него окружности как 2:5

Answer 1

$cfrac{r}{R}=cfrac{2}{5}$
$ab=(a+b+c)r\c=2R\r(a+b)+2Rr=ab$
Так как:
$r=cfrac{a+b-c}{2}\a+b=2r+c=2r+2R$
Получаем:
$r(a+b)+2Rr=r(2r+2R)+2Rr=2r^2+4Rr=ab$
$r=cfrac{2}{5}R$
$2cdotcfrac{4}{25}cdot R^2+4cdot Rcdotcfrac{2}{5}cdot R=cfrac{8R^2}{25}+cfrac{8R^2}{5}=cfrac{48}{25}R^2=ab$
$c=2R\c^2=4R^2\a^2+b^2=4R^2\R^2=cfrac{a^2+b^2}{4}$
$cfrac{48}{25}cdotcfrac{a^2+b^2}{4}=ab\cfrac{12}{25}cdot (a^2+b^2)=ab$
Делим обе части на $a^2$:
$1+cfrac{b^2}{a^2}=cfrac{b}{a}cdotcfrac{25}{12}$
$cfrac{b^2}{a^2}-cfrac{b}{a}cdotcfrac{25}{12}+1=0$
$cfrac{b}{a}=x\x^2-cfrac{25}{12}cdot x+1=0\x=cfrac{12}{13}$
Получаем:
$cfrac{b}{a}=cfrac{12}{13}$
$ctgbeta=tgalpha=cfrac{12}{13}$
$ctgalpha=tgbeta=cfrac{13}{12}$