Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
 а) 2*4^n +5^(2n+1) кратно 7

б) 7^(2n+1) + 3*9^n  кратно 10 

Answer 1

$2*2^{2n}+5^{2n+1}=2^{2n+1}+5^{2n+1}=(2+5)(2^{2n}-2^{2n-1}*5+...+5^{2n})=$

$=7(2^{2n}-2^{2n-1}*5+...+5^{2n})$

Так как один из множителей в последней записи делится на 7, то и всё выражение делится на 7.


$7^{2n+1}+3*3^{2n}=7^{2n+1}+3^{2n+1}=(7+3)(7^{2n}-7^{2n-1}*3+...+3^{2n})=$

$=10(7^{2n}-7^{2n-1}*3+...+3^{2n})$

Так как один из множителей в последней записи делится на 10, то и всё выражение делится на 10.