Question

Пример на доказательство. 

Докажите, что если $x+frac{1}{y}=y+frac{1}{z}=z+frac{1}{x}$, то $x^2y^2z^2=1$ либо $x=y=z$

 

 

Answer 1

x^2+1/x=y^2+1/y=z^2+1/z
рассмотрим первое равенство
перепишем его так yx^2+y-y^2x-x=0  или x(yx-1)-y(yx-1)=0 (x-y)(yx-1)=0
откуда получаем равенство х=y , поступая со вторым равенством аналогиично получим y=z, второе соотношение доказано.
имеем равенство yx=1 так же получаем равенства zx=1 и yz=1 перемножив
их получаем первое соотношение.