Question

Пусть Н-точка пересечения высот треугольника АВС, а АА'- диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок А'Н делит сторону ВС пополам.
Подсказка:Учесть, что АС перпендикулярен А'C и использовать свойства параллелограмма. 

Answer 1

Ну, эта задача сама по себе очень простая - CH и A'B перпендикулярны AB, то есть CH II A'B; и точно так же BH и A'C перпендикулярны AC; то есть A'BHC - параллелограмм, а у него диагонали делятся пополам в точке пересечения. 
То есть если M - середина ВС, то М - так же и середина A'H.

Интересно вот что. В треугольнике A'AH получилось, что AM и ОН - медианы, то есть они делятся точкой их пересечения G в пропорции 1/2, считая от О. То есть 2*OG = GH; При этом AM - медиана треугольника АВС, и G расположена как раз в точке пересечения медиан треугольника АВС (то есть на расстоянии AG = 2*GM, то есть у треугольников АВС и А'AH совпадают точки пересечения медиан.).
Это означает, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с центром описанной окружности и делит это отрезок в пропорции 1/2, считая от центра описанной окружности. 
Это - знаменитая теорема Эйлера. :))) - между прочим ... а прямая ОН называется прямой Эйлера :)))

Answer 2

Точка пересечения медиан называется центроидом, и еще - это центр тяжести треугольника (в некотором смысле, конечно - если в вершины поместить равные грузы, например). Точка пересечения высот называется ортоцентром, и - как ни странно - тоже была открыта Эйлером.

Answer 3

только что заметил опечатку "если M - середина ВС, то М - середина AH." Конечно, должно быть "М - середина A'H"; а не AH.