Question

вычислите значение выражения, если известно, что loga b (логарифм b по основанию a)=2

Answer 1

$log_{a}b=2\\4); ; 3log_{frac{a^3}{b}} frac{sqrt{a}}{sqrt[3]{b}} +log_{frac{a^3}{b}}b=3(log_{frac{a^3}{b}}sqrt{a}-log_{frac{a^3}{b}}sqrt[3]{b})+log_{frac{a^3}{b}}b=\\=3cdot frac{log_{a}a^{frac{1}{2}}}{log_{a}frac{a^3}{b}}- 3cdot frac{1}{3}cdot log_{frac{a^3}{b}}b+log_{frac{a^3}{b}} b=3cdot frac{frac{1}{2}}{3-log_{a}b} = frac{3}{2cdot (3-2)} =frac{3}{2}$

$5); ; log_{ sqrt{a} }(bsqrt[4]{a})+log_{ sqrt{b} }a+log_{a}sqrt{ab}=\\=2log_{a}(bsqrt[4]{a})+2log_{b}a+frac{1}{2}log_{a}(ab)=\\=2(log_{a}b+frac{1}{4}log_{a}a)+frac{2}{log_{a}b}+frac{1}{2}(log_{a}a+log_{a}b)=\\=2(log_{a}b+frac{1}{4})+frac{2}{2}+frac{1}{2}(1+log_{a}b)=\\=2(2+frac{1}{4})+1+frac{1}{2}cdot (1+2)=frac{2cdot 9}{4}+1+frac{3}{2}=frac{12}{2}+1=7$

$6); ; log_{frac{b}{sqrt[3]{a}}} frac{sqrt[5]{b}}{ sqrt{a} } +3log_{frac{b}{sqrt[3]{a}}}sqrt{ab}=\\=log_{frac{b}{sqrt[3]{a}}}sqrt[5]{b}-log_{ frac{b}{sqrt[3]{a}} }sqrt{a}+frac{3}{2}log_{ frac{b}{sqrt[3]{a}} }(ab)=\\= frac{1}{5}log_{frac{b}{sqrt[3]{a}} }b- frac{1}{2}log_{ frac{b}{sqrt[3]{a}} }a + frac{3}{2}log_{ frac{b}{ sqrt[3]{a} } }a+ frac{3}{2}log_{ frac{b}{ sqrt[3]{a} } }b= \\=frac{17}{10}log_{frac{b}{sqrt[3]{a}}}b+log_{frac{b}{sqrt[3]{a}}}a=$

$= frac{17}{10} cdot frac{log_{a}b}{log_{a}b-log_{a}a^{frac{1}{3}}} + frac{1}{log_{a}b-log_{a}a^{frac{1}{3}}} = frac{17cdot 2}{10(2-frac{1}{3})} +frac{1}{2-frac{1}{3}} =\\= frac{17}{5cdot frac{5}{3}} +frac{1}{frac{5}{3}}=frac{17cdot 3}{25}+frac{3}{5}=frac{66}{25}=2,64$

Answer 2

Применены свойства логарифмов и степеней