Question

вычислите значение выражения, если известно, что loga b (логарифм b по основанию a)=2

Answer 1

$log_{a}b=2\\1); ; log_{ab}sqrt[4]{a^3}=frac{3}{4}log_{ab}a= frac{3}{4}cdot frac{1}{log_{a}ab} = frac{3}{4}cdot frac{1}{log_{a}a+log_{a}b} =\\= frac{3}{4} cdot frac{1}{1+log_{a}b} = frac{3}{4cdot (1+2)} =frac{1}{4}$

$2); ; log_{ab}frac{sqrt{b}}{a}+log_{sqrt{ab}}b+log_{a}sqrt[3]{b}=\\=log_{ab}sqrt{b}-log_{ab}a+2log_{ab}, b+frac{1}{3}log_{a}b=\\= frac{1}{2}log_{ab}, b+2log_{ab}, b-log_{ab}, a +frac{1}{3}log_{a}b=\\=frac{5}{2}cdot frac{log_{a}b}{log_{a}(ab)}-frac{1}{log_{a}(ab)}+frac{1}{3}cdot 2= frac{5}{2} cdot frac{2}{1+log_{a}b} - frac{1}{1+log_{a}b} + frac{2}{3} =\\= frac{5}{1+2}-frac{1}{1+2}+frac{2}{3}= frac{5}{3}- frac{1}{3} +frac{2}{3}= frac{6}{3} =2$

$3); ; 3log_{sqrt[3]{ab}} ; frac{sqrt{b}}{a} +2log_{ sqrt[3]{ab} }; a^3=\\=log_{sqrt[3]{ab}}( frac{sqrt{b}}{a} )^3+log_{sqrt[3]{ab}}; a^6=log_{sqrt[3]{ab}}; frac{b^{frac{3}{2}}cdot a^6}{a^3}=log_{sqrt[3]{ab}}; (b^{frac{3}{2}}cdot a^3)=\\=3cdot log_{ab}(b^{frac{3}{2}}a^3)=3cdot frac{log_{a}(b^{frac{3}{2}}a^3)}{log_{a}(ab)} =3cdot frac{frac{3}{2}log_{a}b+3log_{a}a}{log_{a}a+log_{a}b} =\\=3cdot frac{frac{3}{2}cdot 2+3}{1+2} =3cdot frac{6}{3} =3cdot 2 =6$