Question

Решить уравнение
$cosx^2+cos2x^2=cos3x^2$
Ответ: x=п/4+пn/2
x=+- $1/2arcos frac{1- sqrt{17} }{4} + pi n$
Номер 69 под цифрой один.

Answer 1

$cos^2x+cos^22x=cos^23x\ \ dfrac{1+cos2x}{2} + dfrac{1+cos4x}{2}= dfrac{1+cos6x}{2} \ 1+cos2x+cos4x=cos6x\ \ 1+cos4x=cos6x-sin2x \ \ 1+cos4x=-2sin frac{6x+2x}{2}sin frac{6x-2x}{2} \ \ 1+cos4x=-2sin4xsin2x\ \ 1+cos4x=-4sin^22xcos2x\ \ 1+2cos^22x-1=-4cdot(1-cos^22x)cdotcos2x\ 2cos^22x=-4cos2x+4cos^32x\ 4cos^32x-2cos^22x-4cos2x=0|:2\ 2cos^32x-cos^22x-2cos2x=0\ cos2x(2cos^22x-cos2x-2)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$cos2x=0\ 2x= frac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z}\ \ boxed{x= frac{pi}{4}+ frac{pi n}{2} ,n in mathbb{Z} }\ \ 2cos^22x-cos2x-2=0$
Пусть $cos2x=t(|t| leq 1)$ тогда получаем
$2t^2-t-2=0\ D=b^2-4ac=1+16=17\ \ t_{1,2}= dfrac{1pm sqrt{17} }{4}$
Обратная замена
$cos2x=dfrac{1- sqrt{17} }{4} \ \ 2x=pmarccosbigg(dfrac{1- sqrt{17} }{4} bigg)+2pi n,n in mathbb{Z}\ \ \ boxed{x=pm frac{1}{2}arccosbigg(dfrac{1- sqrt{17} }{4} bigg)+pi n,n in mathbb{Z} }$

Answer 2

Спасибо) исправил)