Question

Точка Р віддалена від усіх сторін правильного трикутника на відстань 2, а від площини трикутника на відстань 1. чому дорівнює сторона трикутника?

Answer 1

В правильном треугольнике центр находится в точке, которая является центром  вписанной и описанной окружности. Если точка равноудалена от всех сторон треугольника, то она проецируется в точку О - центр впис. окр-ти, и РО - перпендикуляр к плоскости треуг-ка. По условию РО=1.Расстояние РМ от точки Р до стороны АВ треугольника  равно расстоянию от точки Р до середины стороны АВ, то есть РМ=2, причём РМ перпенд-но АВ ( то есть РМ - апофема).
Рассмотрим треуг-к РОМ.Угол РОМ=90, РМ-гипотенуза, РО,ОМ- катеты  --->
$OM^2=PM^2-PO^2=4-1=3, OM=sqrt{3}$
ОМ - 1/3 от высоты СМ, CM перпендикулярно АВ. Но в равностороннем треуг-ке медианы, высоты и биссектрисы совпадают, поэтому из прямоугольного тр-ка АОМ имеем:
<OAM=30, AM=OM:tg30=$sqrt{3}:frac{1}{sqrt{3}}=3$
AB=2*AM=2*3=6