Question

В кубе abcda1b1c1d1 точка k середина ребра AD,точка L принадлежит CD и CL:LD=2:1.Через точки K,L и D1 проведена плоскость.Найдите угол между плоскостями KLD1 и ABC,а также площадь полученного сечения,если ребро куба равно а.

Answer 1

Пусть A - начало координат 
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1

Уравнение плоскости ABC
z=0

Координаты точек 
K(0;a/2;0)
L(a/3;a;0)
D1(0;a;a)

Направляющий вектор KL (a/3;a/2;0)
длина KL = a√(1/9+1/4)=a√13/6
Направляющий вектор D1K(0; -a/2; -a)

расстояние от D1 до KL - Высота сечения =
||  i     j     k  ||
|| 0  -a/2  -a || /(√13/6) = a √(19/13)
||a/3  a/2  0 || 

Площадь сечения половина основания на высоту
S=a^2 *√19/12

Уравнение плоскости KLD1 
mx+ny+pz+q=0

подставляем координаты точек 
an/2+q=0
am/3+an+q=0
an+ap+q=0

Пусть  n=2  тогда q = -a m= -3 p= -1

-3x+2y-z-a=0

косинус угла между KLD1 и ABC

cos a = 1/1/√(9+4+1)=1/√14