Question

Найти область определения функции y = $sqrt{ 25^{x}- 8 * 5^{x}+15 }$

Answer 1

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, есть выполняться неравенство

$25^x-8*5^x+15geqslant 0$

Пусть $t=5^x$. Тогда

$t^2-8t+15geqslant 0.$

Согласно теореме Виетта нетрудно догадаться, что

$left { {{t_1*t_2=15} atop {t_1+t_2=8}} right.$.

Множителями числа 15 будут 5 и 3. В сумме же они дадут 8. Значит эти числа будут корнями уравнения
$t^2-8t+15=0.$

Неравенство можно переписать в виде

$(t-3)*(t-5)geqslant 0$

Методом интервалов нетрудно посчитать, что при

$tin(-infty;,3]cup [5;,infty)$
Теперь вместо t подставим исходное значение

$left { {5^xleqslant 3,} atop {5^xgeqslant 5.}} right.$

Логарифмируя обе части этих неравенств по основанию 5, не меняем знака неравенства, так как 5>1.

$left { {{xleqslant log_5 3} atop {xgeqslant log_5 5}} right.$
Или
$left { {{xleqslant log_5 3} atop {xgeqslant 1}}$

А если записать в виде интервалов, то

Ответ:

$xin(-infty;,log_5 3]cup[1;,infty)$