Question

Упростить
Sinx/(tg(п/4-x/2)*(1+sinx))

Answer 1

Надо сначала упростить тангенс в знаменателе по известной формуле тангенса разности
$tan(alpha-beta)=frac{tanalpha-tanbeta}{1+tanalphatanbeta}$

$tanleft(frac{pi}{4}-frac{x}{2}right)=frac{tanfrac{pi}{4}-tanfrac{x}{2}}{1+tanfrac{pi}{4}tanfrac{x}{2}}=frac{1-tanfrac{x}{2}}{1+tanfrac{x}{2}}=$

Воспользуемся известной формулой

$tanfrac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{sinalpha}$

и снова преобразуем предыдущее выражение

$frac{1-tanfrac{x}{2}}{1+tanfrac{x}{2}}=frac{1-frac{1-cos x}{sin x}}{1+frac{1-cos x}{sin x}}=$

Умножим и числитель и знаменатель выражения на sin x.
 
$frac{1-frac{1-cos x}{sin x}}{1+frac{1-cos x}{sin x}}=frac{sin x-1+cos x}{sin x+1-cos x}quad(*)$

Теперь запишем исходное выражение с учетом наработанного, причем перенесем знаменатель в (*) в числитель выражения

$frac{sin x}{frac{sin x-1+cos x}{sin x+1-cos x}*(1+sin x)}=frac{sin x*(sin x+1-cos x)}{(sin x-1+cos x)*(1+sin x)}=quad(***)$

Теперь отдельно займемся знаменателем этой дроби. Раскроем скобки.

$(sin x-1+cos x)*(1+sin x)=$

$sin x -1+cos x+sin^2 x-sin x+sin xcos x=$

Теперь можно сократить на sin x, так как эти слагаемые противоположны по знаку

$=sin x -1+cos x+sin^2 x-sin x+sin xcos x=$

$=-1+cos x+sin^2 x+sin xcos xquad(**)$

Заметим, что

$-1+sin^2 x=-(cos^2 x+sin^2 x)+sin^2 x=-cos^2 x-sin^2 x+sin^2 x=$

$=-cos^2 x$

Учитывая это, (**) снова упрощается в

$-1+cos x+sin^2 x+sin xcos x=-cos^2 x+cos x+sin xcos x=$

Теперь вынесем за скобки cos x

$-cos^2 x+cos x+sin xcos x=cos x(-cos x+1+sin x)$ 

Это и есть упрощенный знаменатель. Теперь подставим в исходную дробь (***)

$frac{sin x*(sin x+1-cos x)}{(sin x+1-cos x)*(1+sin x)}=frac{sin x*(sin x+1-cos x)}{cos x(-cos x+1+sin x)}=$

Теперь числитель и знаменатель сокращаем на множитель
$(sin x+1-cos x)$, получаем

$=frac{sin x}{cos x}=tan x$

Ответ:
$tan x$

Answer 2

Как в самом конце получилось сократить на множитель...., если знаменатель совсем другой?