Question

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y"-4y'-5y = 8 cos2x+9sin2x    добавлю 20 баллов

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится ко второму виду)
Нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем решение однородного уравнения
$y''-4y'-5y=0$
Воспользуемся методом Эйлера $y=e^{kx}$, и перейдем к характеристическому уравнению:
$k^2-4k-5=0$
По т. Виета:
 $k_1=5\ k_2=-1$
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}$

Найдем теперь частное решение
Положим $f(x)=8cos2x+9sin2x$
$f(x)=x^ke^{alpha x}(P_n(x)sin ( beta x)+Q_n(x)cos( beta x))$
Где $Q_n(x),,, P_n(x)$ - многочлены степеней х(или полиномы)

$Q_n(x)=8;,,,, P_n(x)=9;,,, alpha=0;,,, beta=2$
Тогда частное решение будем искать в виде:
Уч.н. $=Acos2x+Bsin2x$
Найдем первую и вторую производную
$y'=(Acos2x+Bsin2x)'=2Bcos2x-2Asin2x\ \ y''=(2Bcos2x-2Asin2x)'=-4Acos2x-4Bsin2x$
Подставим в исходное уравнение

$-4Acos2x-4Bsin2x-8Bcos2x+8Asin2x-5Acos2x-5Bsin2x\ \ =8cos2x+9sin2x\ \ -9Acos2x-9Bsin2x-8Bcos2x+8Asin2x=8cos2x+9sin2x\ \ cos2x(-9A-8B)+sin2x(8A-9B)=8cos2x+9sin2x$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
$displaystyle left { {{8A-9B=9} atop {-9A-8B=8}} right. Rightarrow left { {{A=0} atop {B=-1}} right.$

Тогда частное решение имеет вид:

Уч.н. $=-sin2x$


Уо.н. = $C_1e^{5x}+C_2e^{-x}-sin2x$ - ответ.