Question

На гипотенузе КМ прямоугольного треугольника КТМ расположен центр О окружности, которая касается катетов ТК и ТМ в точках А и В соответственно. Найдите длину отрезка АК, если известно, что ВМ=23/16, АК/АС=5/23 (С - точка пересечения окружности с КМ, лежащая между точками О и М)

Answer 1

По рисунку видно что AOBT - квадрат , со стороной равному радиусу , пусть радиус равен y.
Так же треугольники КАО и KTM подобны . Из подобия треугольников получаем 
5x/(5x+y)=y/(23/16 + y) . 

Так как 
KT^2+TM^2=KM^2
(5x+y)^2+(y+23/16)^2=KM^2 ; 

KO^2=(5x)^2+y^2

OM^2=y^2+(23/16)^2

отудого KM=KO+OM = √((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2) 

ставим в уравнение 
(5x+y)^2+(y+23/16)^2=KM^2 ; 
(5x+y)^2+(y+23/16)^2  = (√((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2))^2
решаем систему 

{(5x+y)^2+(y+23/16)^2  = (√((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2))^2
{5x/(5x+y)=y/(23/16 + y) 

получаем отудого x=23/80 
значит AK=5*23/80=23/16