Question

Помогите пожалуйста решить
найти неопределенный интеграл
1)$frac{sin2x}{4cosx} dx$
2)$frac{1}{2} (sin pi x+1)dx$
3)$ctg^{2} xdx$
4)$2^{-x} sqrt[3]{ 2^{1+2x} } dx$

Answer 1

$Largeint {sin{(2x)}over4cos{x}}mathrm{dx}={1over2}int sin{x}mathrm{dx}=-{1over2}cos{x}+C\ {1over2}left ( int sin{(pi x)}mathrm{dx}+int mathrm{dx} right )={1over2}x-{1over2 pi}cos{(pi x)}+C\ int ctg^2{x}mathrm{dx}=int{1-sin^2{x}oversin^2{x}}=int{1oversin^2{x}}mathrm{dx}-intmathrm{dx}=-ctg{x}-x+C\ int(2^{-x}cdotsqrt[3]{2^{1+2x}})mathrm{dx}=int(2^{-x}cdotsqrt[3]{2cdot4^{x}})mathrm{dx}=sqrt[3]{2}intleft ( 2^{-x}cdotsqrt[3]{2^{2x}} right )mathrm{dx}=left [ 2^{x}=t, {dtover2^{x}cdotln{2}}=dx right ]={sqrt[3]{2}overln{2}}int{t^{2over3}over t^2}mathrm{dt}={sqrt[3]{2}overln{2}}int t^{-4over3}mathrm{dt}={sqrt[3]{2}overln{2}}cdot{-3over sqrt[3]{t}}+C={sqrt[3]{2}overln{2}}cdot{-3over sqrt[3]{2^x}}+C=-{3overln{2}}sqrt[3]{2^{1-x}}+C$