Question

Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной окружности относится к радиусу вписанной окружности, как 5:2.

Answer 1

Мое решение не соответствует уровню 5-9 кл., который заявил Автор, но предложу как вариант.

Чертеж мне  принципе не нужен - он мало информативен, но прилагаю.
1. По теореме синусов  $frac{c}{sinC} = frac{b}{sinB} = frac{a}{sinA}=2R$
Тогда
$c=2Rsin90^o=2R, b=2RsinB, a=2RsinA$
2. Для прямоугольного треугольника справедлива формула $r=frac{a+b-c}{2}$
$r=frac{2R(sinA+sinB-1)}{2}$
3. Из условия следует. что 2R=5r. Поэтому
$r=frac{5r*(sinA+sinB-1)}{2} => sinA+sinB-1=frac{2}{5}\ sinA+sinB=frac{7}{5}$
4. Для острых углов А и В прямоугольного треугольника в силу формул приведения верны равенства: sin А = cos B и sin B  = cos A. Тогда
$sinA+cosA=frac{7}{5}\ sqrt2cos(A-45^o)=frac{7}{5}\ cos(A-45^o)=frac{7}{5sqrt2}\ A=45^o+arccosfrac{7}{5sqrt2}$
5. Для отыскания косинусов острых углов займемся тригонометрией:
$cosA=cos(45^o+arccosfrac{7}{5sqrt2})=\=cos45^o*cos(arccosfrac{7}{5sqrt2})-sin45^o*sin(arccosfrac{7}{5sqrt2})=$
$=frac{sqrt2}{2}*frac{7}{5sqrt2}-frac{sqrt2}{2}*sin(arccosfrac{7}{5sqrt2})=\=frac{7}{10}-frac{sqrt2}{2}*sqrt{1-(frac{7}{5sqrt2})^2}}=\=frac{7}{10}-frac{sqrt2}{2}*frac{1}{5sqrt2}=\ =frac{7}{10}-frac{1}{10}=frac{6}{10}=frac{3}{5}\\ cosB=sinA=sqrt{1-(frac{3}{5})^2}=frac{4}{5}$
Ответ: cosA=3/5; cosB=4/5.

P.S. Полученный ответ (пифагорова тройка) наводит на мысль, что существует более простое решение.